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Riemann-Zeta-Funktion [Änderung ]
Die Riemann-Zeta-Funktion oder die Euler-Riemann-Zeta-Funktion, ζ (s), ist eine Funktion einer komplexen Variablen s, die die Summe der Dirichlet-Reihen analytisch fortsetzt


  
    
      
    
    \ zeta (s) = \ Summe _ {n = 1} ^ {1} {n ^ {s}}}}
  


wenn der reelle Teil von s größer als 1 ist. Allgemeinere Darstellungen von ζ (s) für alle s sind unten angegeben. Die Riemann-Zeta-Funktion spielt eine entscheidende Rolle in der analytischen Zahlentheorie und hat Anwendungen in der Physik, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der angewandten Statistik.
Leonhard Euler hat ihn erstmals in der ersten Hälfte des 18. Jahrhunderts eingeführt und studiert, ohne eine komplexe Analyse zu verwenden, die zu dieser Zeit nicht verfügbar war. Bernhard Riemanns Artikel von 1859 "Über die Anzahl der Primzahlen kleiner als eine gegebene Größe" erweiterte die Euler-Definition auf eine komplexe Variable, bestätigte ihre meromorphe Folge- und Funktionsgleichung und stellte eine Beziehung zwischen ihren Nullen und der Verteilung der Primzahlen her.
Die Werte der Riemann-Zeta-Funktion bei geraden ganzen Zahlen wurden von Euler berechnet. Der erste von ihnen, ζ (2), bietet eine Lösung für das Basler Problem. 1979 bewies Apéry die Irrationalität von ζ (3). Die Werte bei negativen ganzzahligen Punkten, die ebenfalls von Euler gefunden werden, sind rationale Zahlen und spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der modularen Formen. Viele Verallgemeinerungen der Riemann-Zeta-Funktion, wie die Dirichlet-Reihe, Dirichlet-L-Funktionen und L-Funktionen, sind bekannt.
[Statistiken]
1.Definition
2.Spezifische Werte
3.Euler-Produktformel
4.Riemanns Funktionsgleichung
5.Nullen, die kritische Linie und die Riemann-Hypothese
5.1.Die Hardy-Littlewood-Vermutungen
5.2.Nullfreie Region
5.3.Andere Ergebnisse
6.Verschiedene Eigenschaften
6.1.Gegenseitig
6.2.Universalität
6.3.Schätzungen des Maximums des Moduls der Zeta-Funktion
6.4.Das Argument der Riemann-Zeta-Funktion
7.Darstellungen
7.1.Dirichlet-Serie
7.2.Mellin-Typ Integrale
7.3.Theta funktioniert
7.4.Laurent-Serie
7.5.Integral
7.6.Rising faktoriell
7.7.Hadamard Produkt
7.8.Weltweit konvergente Serie
7.9.Reihendarstellung bei positiven Ganzzahlen über das Primorial
7.10.Seriendarstellung durch die unvollständigen Poly-Bernoulli-Zahlen
8.Numerische Algorithmen
9.Anwendungen
9.1.Unendliche Serie
10.Verallgemeinerungen
11.Bruchderivat
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